otonaもドキdoki

大人も大人未満の人もドキドキすることを綴ります

数学一人旅４　やや難解な因数分解

ようやく学校が再開されますね。高校１年生の諸君、課題お疲れ様。このブログは１年生の一学期の数学の要点を中心に書いています。難度の高い教科書を使っている場合も、そうでない場合も参考になると思います。コロナに負けないで充実した高校生活をおくってください。

整式の展開や因数分解は基本の「基」ですから、高校数学で新しく登場する３つの展開公式　(a+b)^ 3 , (a-b)^ 3 , (a+b+c) ^2 と２つの因数分解公 式\ a^ 3+b ^3 ,\ a ^3-b ^3　はしっかり記憶しておくことです。また３つの文字が登場する公式は、(a+b+c) ^2　の展開と a^ 3+b^ 3+c^ 3-3abc の因数分解だけであることも記憶にとどめておいてください。

問題\ \ \ \ a^ 3+b^ 3+c^ 3-3abc\ \を因数分解せよ。

これは結論だけでなく途中の過程もしっかり理解しておきましょう。
腕に覚えのある「otona」は、解答を見ずに結論を導いてください。
(解答)
a^ 3+b^ 3=(a+b)^ 3-3ab(a+b)を利用して a^ 3+b^ 3+c^ 3-3abc=(a+b)^ 3+c^ 3-3ab(a+b)-3abcとなることから =(a+b)^ 3+c^ 3-3ab(a+b+c)を得るので、前半部分の (a+b)^ 3+c^ 3の因数分解をすることにします。
これは (a+b)をまとめてAとして A^ 3+c^ 3の因数分解を考えればよいでしょう。 (A+c)(A^ 2-Ac+c^ 2)となるので =(a+b+c)(a^ 2+2ab+b^ 2-ac-bc+c ^2)
よって(a+b)^ 3+c^ 3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a^ 2+b^ 2+c^ 2-ab-bc-ca)となります。
本当に理解できているか。 x^ 3+y^ 3+z^ 3-3xyz\ で再度やってみてください。
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この結果については次の重要なことを憶えておくのがよいでしょう。
すなわち (a+b+c)(a^ 2+b^ 2+c^ 2-ab-bc-ca) の後ろの（　）内は、２倍すると 2a^ 2+2b^ 2+2c^ 2-2ab-2bc-2ca\ となり (a-b)^ 2+(b-c)^ 2+(c-a)^ 2と変形できます。これは a, b, c がどんな実数であれ、式全体の値は負になることがない。「必ず０以上である」ことを意味しています。