otonaもドキdoki

大人も大人未満の人もドキドキすることを綴ります

数学一人旅１　　式の値

「式の値」という問題は多様ですが、一番基本となる問題を紹介します。これは易しい教科書では節末問題の中で扱う程度です。与えられた条件式を加工する方法にはいくつかの定型があるので、他の定型は別の項目で扱うことにします。

問題 $\ \ \ \$ $x+y=5\ \ \$ $xy=3$ $\ \ \$ のとき $\ \ \$ $x^ 2+y ^2$ の値を求めよ。

この問題の $x+y\ \$ , $xy$ は $x\$ と $y$ についての和と積で基本的な式なので基本対称式といいます。（ $x\$ と $y$ を入れ替えても和や積の値が変わらないので対称式といいます）この $x+y\ \$ と $xy$ のかたまりで様々な式を表すというのが問題です。 $x^ 2+y^ 2 =5^ 2$ などとやってはいけません。なぜなら $(x+y)^ 2=x^ 2+y^ 2$ 　　

ではなく $(x+y)^ 2=x^ 2+2xy+y^ 2$ だからです。

正解は　 $x^ 2+y^ 2=(x+y)^ 2-2xy=5^ 2-2\times3=25-6=19$ ですね。

少し難しくしましょう。

　類題①　 $x+y=5\$ $xy=3$ のとき $x-y$ の値　

　類題②　 $x+y=5\$ $xy=3$ のとき $x^ 3+y^ 3$ の値　

　類題③　 $x+\dfrac{1}{x}=3\$ のとき $x^ 2+\dfrac{1}{x^ 2}$ の値　

$\$

　類題①の解答　　　 $(x-y)^ 2=x^ 2-2xy+y^ 2$ ですから　　

$(x-y)^ 2=(x+y)^ 2-4xy$ よって　 $(x-y)^ 2=5^ 2-4\times3=13$ 　

$x-y=±\sqrt{13}$ 　　

$\$

　類題②の解答　　 $(x+y)^ 3=x^ 3+3x^ 2y+3xy^ 2+y^ 3$ ですから　　

$x^ 3+y^ 3=(x+y)^ 3-3x^ 2y-3xy^ 2=(x+y)^ 3-3xy(x+y)$ 　　

よって　 $x^ 3+y^ 3=5^ 3-3\times3\times5=125-45=80$ 　　

$\$

類題①や②に登場する次の式は　重要な変形公式として記憶するとよいでしょう。

$\require{color}\textcolor{blue}{(x-y)^ 2=(x+y)^ 2-4xy}$

$\require{color}\textcolor{blue}{x^ 3+y^ 3=(x+y)^ 3-3xy(x+y)}$

$\require{color}\textcolor{blue}{x^ 3-y^ 3=(x-y)^ 3+3xy(x-y)}$

類題③で重要なことは $(x+\dfrac{1}{x})^ 2 =x^ 2+2x\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^ 2}$ となり、 $(a+b)^ 2=a^ 2+2ab+b^ 2$ の $\require{color}\textcolor{red}{2ab}$ 　にあたる箇所が文字ではなく数値 $\require{color} \textcolor{red}{2}$ になることです。

これを憶えておけば $x^ 2+\dfrac{1}{x^ 2}=(x+\dfrac{1}{x})^ 2-2=3^ 2-2=7$